经验 | 什么是最小二乘拟合？

首先，为了简化问题难度我们将三维问题变为二维问题，只考虑XY坐标。在圆柱上任一截面，每间隔18°取一个测量点，一共取20个测量坐标点，并在XOY坐标系里表示出来：

上面的图看起来是一个圆，但是问题没这么简单。这个世界上有一种东西叫误差，而误差是绝对存在的。简单来说，由于误差的存在，实际存在的东西和理论形状是有偏差的，比如说我们平时看到的平面，在微观尺度下是这样的：

同样，由于机床本身的误差外加装夹误差、加工热误差、振动误差等原因。被加工圆实际上也不是理想圆，只是因为误差本身数值很小，肉眼难以分辨。为了能让大家形象的观察到误差的存在，我们把刚才被测圆数据的误差放大几百倍，看似完美的圆就变成了下面的不规则多边形（实测圆）：

此时，我们不难看出，这些实测坐标点似乎不像一个圆。但是，它又的的确确是一个实际圆棒上的坐标值。问题来了：它的直径是多少？它的圆心又在哪里？

那么，此时我们需要找一个理想的圆，来表示出这个实际上并不理想的圆，这个过程就是前面提到的坐标点拟合。接下来就是拟合的实现过程：

首先，我们的任务是要找到一个理想圆来表示实际上有缺陷的圆。那么，找圆的方法有很多，比如可以这样找：

还可以这样找：

但是上面的两种找圆的方法似乎不是很理想。那么，有没有一种比较理想的方法能够找出一个最合理的圆，最能够代表实际被加工的有缺陷的圆呢？我们先假设有这样一个理想圆的存在，如下图：

接下来我们来分析一下这个理想圆存在的条件：首先，对比实际测量点与理想圆相应位置点（每间隔18°位置），他们之间的距离就是加工误差，用黄色线段表示：

这个误差就是概率论与数理统计里面讲到的残余误差：

其中v表示残余误差，l表示实测点，y表示理想点。最理想的拟合圆应该能够使所有测点残余误差平方和为最小，因此应该满足如下表达式：

这个就是所谓的最小二乘法。